1942 İzmir doğumlu. ilk öğrenimini Buca Umurbey ilkokulu'nda, orta öğrenimini Buca Ortaokulu'nda yapan Çakmur, Namık Kemal Lisesi'nden sonra, 1969 yılında İzmir İktisadi Ticari Bilimler Yüksek Okulu'nu bitirdi. Askerlik hizmetini 1969-1970 yıllarında Ulaştırma Okulu ve Eğitim Merkezi Komutanlığı'nda yaptıktan sonra, İzmir İhracatçı Birlikleri'nde raportör olarak çalışmaya başladı.1971 yılında Cumhuriyet Halk Partisi'nden, Buca Belediye Başkanlığı'na seçilen ve bu görevini 1973 yılına kadar sürdürdü.Yüksel Çakmur, 1973 genel seçimlerinde İzmir'den milletvekili seçildi. 1977 genel seçimlerinde bir kez daha milletvekili seçilen ve Cumhuriyet Halk Partisi Genel Yönetim Kurulu üyeliği yapan Çakmur, iki kez Gençlik ve Spor Bakanı olarak kabinede görev yaptı. Milletvekilliği görevi 12 Eylül 1980 darbesine kadar süren Çakmur, Buca Belediye Başkanlığı'ndan önce başladığı İzmir Hukuk Fakültesi'nden, 12 Eylül darbesinden sonra mezun oldu. 26 Mart 1989 tarihinde yapılan yerel seçimlerde İzmir Büyükşehir Belediye Başkanlığı'na seçildi.SHP ve CHP dönemlerinde Genel Başkanlığı’na aday oldu.Tekrar İzmir Büyükşehir Belediye Başkanı oldu fakat seçilemedi.