Öklid (Euclides)

[boxcigar]

Rönesans sonrası Avrupa'da, Kopernik'le başlayan, Kepler, Galileo veNewton'la 17. yüzyılda doruğuna ulaşan bilimsel devrim, kökleriHelenistik döneme uzanan bir olaydır. O dönemin seçkin bilginlerindenAristarkus, güneş-merkezli astronomi düşüncesinde Kopernik'iöncelemişti; Arşimet yaklaşık iki bin yıl sonra gelen Galileo'ya esinkaynağı olmuştu; Öklid çağlar boyu yalnız matematik dünyasının değil,matematikle yakından ilgilenen hemen herkesin gözünde özenilen, yetkinbir örnekti.

Öklid, M.Ö. 300 sıralarında yazdığı 13 ciltlik yapıtıyla ünlüdür. Buyapıt, geometriyi (dolayısıyla matematiği) ispat bağlamında aksiyomatikbir dizge olarak işleyen, ilk kapsamlı çalışmadır. 19. yüzyıl sonlarınagelinceye kadar alanında tek ders kitabı olarak akademik çevrelerdeokunan, okutulan Elementler'in, kimi yetersizliklerine karşın, değerinibugün de sürdürdüğü söylenebilir.

Egeli matematikçi Öklid'in kişisel yaşamı, aile çevresi, matematik dışıuğraş veya meraklarına ilişkin hemen hiçbir şey bilinmemektedir.Bilinen tek şey; İskenderiye Kraliyet Enstitüsü'nde dönemin en saygınöğretmeni; alanında yüzyıllar boyu eşsiz kalan bir ders kitabının yazanolmasıdır. Eğitimini Atina'da Platon'un ünlü akademisinde tamamladığısanılmaktadır. O akademi ki giriş kapısında, "Geometriyi bilmeyen hiçkimse bu kapıdan içeri alınmaz!" levhası asılıydı.

Öklid'in bilimsel kişiliği, unutulmayan iki sözünde yansımaktadır:Dönemin kralı I. Ptolemy, okumada güçlük çektiği Elementler'inyazarına, "Geometriyi kestirmeden öğrenmenin yolu yok mu?" diyesorduğunda, Öklid "Özür dilerim, ama geometriye giden bir kral yoluyoktur" der. Bir gün dersini bitirdiğinde öğrencilerinden biriyaklaşır, "Hocam, verdiğiniz ispatlar çok güzel; ama pratikte bunlarneye yarar?" diye sorduğunda, Öklid kapıda bekleyen kölesini çağırır,"Bu delikanlıya 5-10 kuruş ver, vaktinin boşa gitmediğini görsün!"demekle yetinir.

Öklid haklı olarak "geometrinin babası" diye bilinir; ama geometrionunla başlamış değildir. Tarihçi Herodotus (M.Ö. 500) geometrininbaşlangıcını, Nil vadisinde yıllık su taşmalarından sonra arazisınırlarını belirlemekle görevli kadastrocuların çalışmalarındabulmuştu. Geometri "yer" ve "ölçme" anlamına gelen "geo" ve "metrein"sözcüklerinden oluşan bir terimdir. Mısır'ın yanı sıra Babil, Hint veÇin gibi eski uygarlıklarda da gelişen geometri o dönemlerde büyükölçüde, el yordamı, ölçme, analoji ve sezgiye dayanan bir yığın işlemve bulgudan ibaret çalışmalardı. Üstelik ortaya konan bilgilerçoğunlukla kesin olmaktan uzak, tahmin çerçevesinde kalan sonuçlardı.

Örneğin, Babilliler dairenin çemberini çapının üç katı olarakbiliyorlardı. Bu öylesine yerleşik bir bilgiydi ki; pi'nin değerinin 3değil, 22/7 olarak ileri sürenlere, bir tür şarlatan gözüylebakılıyordu. Mısırlılar bu konuda daha duyarlıydılar: M.Ö. 1800yıllarına ait Rhind papürüslerinde onların pi'yi yaklaşık 3.1604 olarakbelirledikleri görülmektedir; ama Mısırlıların bile her zaman doğrusonuçlar ortaya koyduğu söylenemez. Nitekim, kesik kare piramidinoylumunu (hacmini) hesaplamada doğru formülü bulan Mısırlılar,dikdörtgen için doğru olan bir alan formülünün, tüm dörtgenler içingeçerli olduğunu sanıyorlardı.

Aritmetik ve cebir alanında Babilliler, Mısırlılardan daha ilerdeidiler. Geometride de önemli buluşları vardı. Örneğin, "PythagorasTeoremi" dediğimiz, bir dik açılı üçgende dik kenarlarla hipotenüsarasındaki bağıntıya ilişkin önerme "bir dik üçgenin dik kenarkarelerinin toplamı, hipotenüsün karesine eşittir" buluşlarındanbiriydi. Ne var ki, doğru da olsa bu bilgiler ampirik nitelikteydi;mantıksal ispat aşamasına geçilememişti henüz.

Ege'li Filozof Thales'in (M.Ö. 624-546), geometrik önermelerin dedüktifyöntemle ispatı gereğini ısrarla vurguladığı, bu yolda ilk adımlarıattığı bilinmektedir. Mısır gezisinde tanıştığı geometriyi,dağınıklıktan kurtarıp, tutarlı, sağlam bir temele oturtmak istiyordu.İspatladığı önermeler arasında; ikizkenar üçgenlerde taban açılarınıneşitliği; kesişen iki doğrunun oluşturduğu karşıt açıların biribirineeşitliği vb. ilişkiler vardı.

Klasik çağın "Yedi Bilgesi"nden biri olan Thales'in açtığı bu yolda,Pythagoras ve onu izleyenlerin elinde, matematik büyük ilerlemelerkaydetti, sonuçta Elementler'de işlenildiği gibi, oldukça soyutmantıksal bir dizgeye ulaştı. Pythagoras, matematikçiliğinin yanı sıra,sayı mistisizmini içeren gizliliğe bağlı bir tarikatın önderiydi. Bunagöre; sayısallık evrensel uyum ve düzenin asal niteliğiydi; ruhunyücelip tanrısal kata erişmesi ancak müzik ve matematikle olasıydı.

Buluş ve ispatlarıyla matematiğe önemli katkılar yapan Pythagorasçılar,sonunda inançlarıyla ters düşen bir buluşla açmaza düştüler. Bu buluş,karenin kenarı ile köşegenin ölçüştürülemeyeceğine ilişkindi. [Bu LinkiGörüntüleyebilmeniz İçin Üye Olmanız Gerekiyor] gibi, bayağı kesirşeklinde yazılamayan sayılar, onların gözünde gizli tutulması gerekenbir skandaldi. Rasyonel olmayan sayılarla temsile elveren büyüklüklernasıl olabilirdi? (Pythagorasçıların tüm çabalarına karşın üstesindengelemedikleri bu sıkıntıyı, daha sonra tanınmış bilgin Eudoxusoluşturduğu, irrasyonel büyüklükler için de geçerli olan, OrantılarKuramı'yla giderir).

Öklid, Pythagoras geleneğine bağlı bir ortamda yetişmişti. Platon gibi,onun için de önemli olan soyut düşünceler, düşünceler arasındakimantıksal bağıntılardı. Duyumlarımızla içine düştüğümüzyanlışlıklardan, ancak matematiğin sağladığı evrensel ilkeler ve saltussal yöntemlerle kurtulabilirdik. Kaleme aldığı Elementler, kendisiniönceleyen Thales, Pythagoras, Eudoxus gibi, bilgin-matematikçilerinçalışmaları üstüne kurulmuştu. Geometri bir önermeler koleksiyonuolmaktan çıkmış, sıkı mantıksal çıkarım ve bağıntılara dayanan birdizgeye dönüşmüştü. Artık önermelerin doğruluk değeri, gözlem veyaölçme verileriyle değil, ussal ölçütlerle denetlenmekteydi. Buyaklaşımda pratik kaygılar ve uygulamalar arka plana itilmişti.

Kuşkusuz bu, Öklid geometrisinin pratik problem çözümüne elvermediğidemek değildi. Tam tersine, değişik mühendislik alanlarında pek çokproblemin, bu geometrinin yöntemiyle çözümlendiği; ama Elementler'in,eğreti olarak değindiği bazı örnekler dışında, uygulamalara yervermediği de bilinmektedir.Öklid'in pratik kaygılardan uzak olan bututumunun matematik dünyasındaki izleri, bugün de rastladığımız birgeleneğe dönüşmüştür.

Gerçekten, özellikle seçkin matematikçilerin gözünde, matematik şu yada bu işe yaradığı için değil, yalın gerçeğe yönelik, sanat gibigüzelliği ve değeri kendi içinde soyut bir düşün uğraşı olduğu içinönemlidir.

Matematiğin tümüyle ussal bir etkinlik olduğu doğru değildir. Buluşbağlamında tüm diğer bilimler gibi matematik de, sınama-yanılma,tahmin, sezgi, içedoğuş türünden öğeler içermektedir. Yeni birbağıntıyı sezinleme, değişik bir kavram veya yöntemi ortaya koyma,temelde mantıksal olmaktan çok psikolojik bir olaydır. Matematiğinussallığı, doğrulama bağlamında belirgindir. Teoremlerin ispatı, büyükölçüde kuralları belli, ussal bir işlemdir; ama sorulabilir: Öklidneden, geometrinin ölçme sonuçlarıyla doğrulanmış önermeleriyleyetinmemiş, bunları ispatlayarak, mantıksal bir dizgede toplama yolunagitmiştir?

Öklid'i bu girişiminde güdümleyen motiflerin ne olduğunu söylemeyeolanak yoktur; ancak, Helenistik çağın düşün ortamı göz önünealındığında, başlıca dört noktanın öngörüldüğü söylenebilir:

1) İşlenen konuda çoğu kez belirsiz kalan anlam ve ilişkilere açıklık getirmek;

2) İspatta başvurulan öncülleri (varsayım, aksiyom veya postulatları) ve çıkarım kurallarım belirtik kılmak;

3) Ulaşılan sonuçların doğruluğuna mantıksal geçerlik kazandırmak(Başka bir deyişle, teoremlerin öncüllere görecel zorunluluğunu, yaniöncülleri doğru kabul ettiğimizde teoremi yanlış sayamayacağımızıgöstermek);

4) Geometriyi, ampirik genellemeler düzeyim aşan soyut-simgesel birdizge düzeyine çıkarmak (Bir örnekle açıklayalım: Mısırlılar ileBabilliler kenarları 3, 4, 5 birim uzunluğunda olan bir üçgenin, diküçgen olduğunu deneysel olarak biliyorlardı; ama bu ilişkinin 3, 4, 5uzunluklarına özgü olmadığını, başka uzunluklar için de geçerliolabileceğini gösteren veriler ortaya çıkıncaya dek kestirmeleri güçtü;buna ihtiyaçları da yoktu. Öyle kuramsal bir açılma için pratikkaygılar ötesinde, salt entellektüel motifli bir arayış içinde olmakgerekir. Nitekim, Egeli bilginler somut örnekler üzerinde ölçmeyedayanan belirlemeler yerine, bilinen ve bilinmeyen tüm örnekler içingeçerli soyut genellemeler arayışındaydılar. Onlar, kenar uzunluklarıa, b, c diye belirlenen üçgeni ele almakta, üçgenin ancak [Bu LinkiGörüntüleyebilmeniz İçin Üye Olmanız Gerekiyor] eşitliğigerçekleştiğinde dik üçgen olabileceği genellemesine gitmektedirler).

Öklid oluşturduğu dizgede birtakım tanımların yanı sıra, beşi "aksiyom"dediği genel ilkeden, beşi de "postulat" dediği geometriye özgü ilkedenoluşan, on öncüle yer vermiştir (Öncüller, teoremlerin tersineispatlanmaksızın doğru sayılan önermelerdir). Dizge tüm yetkingörünümüne karşın, aslında çeşitli yönlerden birtakım yetersizlikleriçermekteydi. Bir kez verilen tanımların bir bölümü (özellikle,"nokta", "doğru", vb. ilkel terimlere ilişkin tanımlar) gereksizdi.Sonra daha önemlisi, belirlenen öncüller dışında bazı varsayımların,belki de farkında olmaksızın kullanılmış olması, dizgenin tutarlılığıaçısından önemli bir kusurdu.

Ne var ki, matematiksel yöntemin oluşma içinde olduğu başlangıçdöneminde, bir bakıma kaçınılmaz olan bu tür yetersizlikler,giderilemeyecek şeyler değildi. Nitekim, 18. yüzyılda başlayaneleştirel çalışmaların dizgeye daha açık ve tutarlı bir bütünlüksağladığı söylenebilir. Üstelik dizgenin irdelenmesi, beklenmedik birgelişmeye de yol açmıştır: Öncüllerde bazı değişikliklerle yenigeometrilerin ortaya konması. "Öklid-dışı" diye bilinen bu geometriler,sağduyumuza aykırı da düşseler, kendi içinde tutarlı birer dizgedir.Öklid geometrisi, artık var olan tek geometri değildir. Öyle de olsa,Öklid'in düşünce tarihinde tuttuğu yerin değiştiği söylenemez.

Çağımızın seçkin filozofu Bertrand Russell'ın şu sözlerinde Öklid'inözlü bir değerlendirmesini bulmaktayız: "Elementler'e bugüne değinyazılmış en büyük kitap gözüyle bakılsa yeridir. Bu kitap gerçektenGrek zekâsının en yetkin anıtlarından biridir. Kitabın Greklere özgükimi yetersizlikleri yok değildir, kuşkusuz: dayandığı yöntem saltdedüktif niteliktedir; üstelik, öncüllerini oluşturan varsayımlarıyoklama olanağı yoktur. Bunlar kuşku götürmez apaçık doğrular olarakkonmuştur. Oysa, 19. yüzyılda ortaya çıkan Öklid-dışı geometriler,bunların hiç değilse bir bölümünün yanlış olabileceğini, bunun da ancakgözleme başvurularak belirlenebileceğini göstermiştir."

Gene Genel Rölativite Kuramı'nda Öklid geometrisini değil, Riemanngeometrisini kullanan Einstein'ın, Elementler'e ilişkin yargısı sonderece çarpıcıdır: "Gençliğinde bu kitabın büyüsüne kapılmamış birkimse, kuramsal bilimde önemli bir atılım yapabileceği hayaline boşunakapılmasın!"